برهان استقرایی

s_sama 
  بازدید : 16
يکشنبه 5 بهمن 1404 زمان : 9:11 


1
2
3
4
5

گفتیم برهان استقرایی روشی میباشد که در آن با مشاهده الگوهای خاص درخصوص تعدادی مثال نمونه، به یک ضابطه کلی در خصوص تک تک نمونه‌های ممکن می‌رسیم. درین پرسش آغاز آرم میدهیم چه‌گونه می‌اقتدار یک تعدادی ضلعی با معلم خصوصی ریاضی در اصفهان مثلث تقسیم کرد. بعد با استعمال از برهان استقرایی فرمول کل زاویه‌های داخلی یک یک‌سری ضلعی را پیدا خوا هیم کرد.

n
n
ضلع را به
n
−
2
n−2

برای استارت، جدولی به صورت پایین تهیه و تنظیم می کنیم که ارتباط میان تعداد اضلاع یا این که
n
n
را با تعداد مثلث‌های تشکیل‌ گردیده علامت می دهد. اعتنا فرمائید برای تقسیم یک چندضلعی به چند مثلث کافی میباشد صرفا از یک مرکز دلخواه خطوطی را به تک تک مرکز‌های غیرمجاور آن راءس ترسیم کنیم:

اسم یک‌سری ضلعی تعداد اضلاع یا این که
n
n
تعداد مثلث‌ها
سه ضلعی (مثلث)
3
3
1
1
چهار ضلعی
4
4
2
2
پنج ضلعی
5
5
3
3
شش ضلعی
6
6
4
4

بدین ترتیب برای مثلث هیچ خطی نخواهیم داشت و به عبارتی یک مثلث (خودش) را در جدول یادداشت می کنیم. برای چهار ضلعی، یک خط مورب و در سود دو مثلث داریم. برای پنج‌ ضلعی دو خط مورب از یک راءس داریم و نتایج سه مثلث شود. ‌به عبارتی‌طور که مراعات میکنید، این جدول بر پایه ی چهار نمونه اول یعنی
n
=
3
n=3
و
n
=
4
n=4
و
n
=
5
n=5
و
n
=
6
n=6
تهیه و تنظیم گردیده است و به ما یاری می‌نماید تا الگوی موردنظر را پیدا کنیم. فراموش نکنید که دست کم تعداد اضلاع برای تشکیل یک یک سری ضلعی
n
=
3
n=3
میباشد.

تعداد مثلث‌‌های درون یک یک‌سری ضلعی - دلیل ریاضی چیست
تعداد مثلث‌های درون سه‌ضلعی، چهارضلعی و پنج‌ضلعی
در همین مرحله با اعتنا به اعداد ردیف دوم و سوم میتوانیم الگویی به صورت ذیل را به وسیله عامل استقرایی دستیابی کنیم:

در صورتیکه تعداد اضلاع یک یک‌سری ضلعی موازی با
n
n
باشد، تعداد مثلث‌های باطن آن موازی میباشد با
n
−
2
n−2
.

از طرفی میدانیم کل زاویه‌‌های داخلی یک مثلث مدام موازی میباشد با
18
0
∘
180
∘

. بدین ترتیب تک تک زوایای داخلی هر یک‌سری ضلعی نیز موازی میشود با کل زاویه‌های داخلی مثلث‌های تشکیل‌ دهنده آن. بدین ترتیب جدول ذیل علامت می دهد ارتباط میان تعداد اضلاع یک چندین ضلعی و تک تک زوایای داخلی آن به چه شکل میباشد:

اسم یک‌سری ضلعی تک تک زاویه‌های داخلی آن
سه ضلعی (مثلث)
1
×
18
0
∘
=
18
0
∘
1×180
∘
=180
∘

چهار ضلعی
2
×
18
0
∘
=
36
0
∘
2×180
∘
=360
∘

پنج ضلعی
3
×
18
0
∘
=
54
0
∘
3×180
∘
=540
∘

شش ضلعی
4
×
18
0
∘
=
72
0
∘
4×180
∘
=720
∘

با پیش گویی دو‌مین ردیف از جدول بالا میتوانیم به نحوه ادله استقرایی به فرمول ذیل برای تمام زاویه‌های داخلی یک
n
n
ضلعی دست پیدا کنیم:

(
n
−
2
)
×
18
0
∘
(n−2)×180
∘

اعتنا نمائید فرمول به دست آمده برای هر چندین ضلعی بی آلایش‌ای چه منتظم یا این که نامنتظم راست گو میباشد، با این شرط که اضلاع آن متقاطع نباشند. با اینکه این جدول تنها چهار نمونه را پوشش داده میباشد، ولی می‌قدرت آن را برای تعدادی ضلعی‌هایی با تعداد اضلاع بیشتر نیز بسط بخشید. به عنوان مثال، درباره‌ی یک هفت ضلعی طبق فرمول بالا کل زاویه‌های داخلی موازی میباشد با

(
7
−
2
)
×
18
0
∘
=
5
×
18
0
∘
=
90
0
∘
(7−2)×180
∘
=5×180
∘
=900
∘

نمونه ۲
به شیوه دلیل استقرایی اثبات نمایید برای هر عدد طبیعی
n
n
داریم:

1
+
2
+
3
+

.
.
.

+
n
=
n
(
n
+
1
)
2
1+2+3+ ... +n=
2
n(n+1)

جواب

برای اینکه ببینیم درین زمینه طریق استعمال از ادله ریاضی چیست، آغاز از او‌لین گام یعنی مشاهده و به حساب آوردن تعدادی نمونه نخستین آغاز میکنیم:

n
=
1
⇒
1
n=1⇒1

n
=
2
⇒
1
+
2
=
3
n=2⇒1+2=3

n
=
3
⇒
1
+
2
+
3
=
6
n=3⇒1+2+3=6

n
=
4
⇒
1
+
2
+
3
+
4
=
10
n=4⇒1+2+3+4=10

n
=
5
⇒
1
+
2
+
3
+
4
+
5
=
15
n=5⇒1+2+3+4+5=15

در مرحله آنگاه می بایست با تحقیق و توجه در ارتباط ها بالا همت کنیم یک الگوی مشترک در میان جواب‌ها به دست آوریم که قابل‌سرایت کردن به یک فیض کلی نیز باشد. در صورتی‌که اعداد به دست آمده در ارتباط ها بالا را به صورت پایین ویرایش کنیم، خوا‌هیم داشت:

n
=
1
⇒
1
=
1
(
1
+
1
)
2
n=1⇒1=
2
1(1+1)

n
=
2
⇒
3
=
2
(
1
+
2
)
2
n=2⇒3=
2
2(1+2)

n
=
3
⇒
6
=
3
(
1
+
3
)
2
n=3⇒6=
2
3(1+3)

n
=
4
⇒
10
=
4
(
1
+
4
)
2
n=4⇒10=
2
4(1+4)

n
=
5
⇒
15
=
5
(
1
+
5
)
2
n=5⇒15=
2
5(1+5)

بدین ترتیب الگوی تکرار شونده به صورت بالا میباشد که با سرایت کردن آن به موقعیت کلی درخصوص هر عدد طبیعی
n
n
خوا‌هیم داشت:

n
⇒
n
(
n
+
1
)
2
n⇒
2
n(n+1)

عامل استنتاجی چیست؟
در نصیب گذشته آموختیم که روند برهان استقرایی تحت عنوان نوعی ادله ریاضی چیست و گفتیم که در‌این نحوه آغاز مشاهده می کنیم، آن‌گاه الگوی مشترکی را پیدا میکنیم و در غایت به یک ضابطه کلی می‌رسیم. با اعتنا به اینکه عامل استقرایی نوعی کشف میباشد و خیر ثابت ریاضیاتی، پس فیض آن میتواند صحیح یا این که خطا باشد تا‌وقتی‌که به وسیله طرز‌های منطقی مانند عامل استنتاجی یا این که اصل استقرا ثابت خواهد شد.

پروسه ادله استنتاجی - برهان ریاضی چیست
سه مرحله دلیل استنتاجی چهت نیل از تک تک به جزء
ادله استنتاجی روشی میباشد برای ثابت قطعی جمله‌ها با استعمال از مقررات، تمجید‌ها و مسئله‌‌های شناخته‌ گردیده در دانش ریاضی ها و هندسه. در‌این نوع برهان خلاف دلیل استقرایی مسیر تامل از تمام به جزء میباشد، یعنی آغاز یک اصل یا این که ضابطه کلی را می‌پذیریم، آنگاه با بکارگیری منطق و مقررات متعدد به یک سود‌گیری خاص و ظریف می‌رسیم.

استنتاج مبنا کل ثابت‌های ریاضیاتی میباشد، به‌این مفهوم که هر عامل هندسی، ثابت جبری یا این که هر سود منطقی در ریاضی ها نوعی برهان استنتاجی به‌ شمار می‌رود. مثلا، در صورتی دو جمله تحت را بدانیم:

تک تک زاویه‌های قائمه
90
90
رتبه‌اند.
زاویه
A
A
قائمه میباشد.
فیض می گیریم که زاویه
A
A
نیز یک زاویه
90
90
مرتبه‌ میباشد. در اینجا از دو پاراگراف کلی (تعریف‌و‌تمجید زاویه قائمه و ضابطه زاویه‌ها) سود‌ای خاص گرفته‌ شد که بر شالوده ضوابط پذیرفته‌ گردیده و فارغ از هیچ حدسی یا این که گمانی انجام یافته میباشد. به این ترتیب روند فیض‌گیری ما بر اساس ادله استنتاجی بوده میباشد.